페아노 공리계_{(r24 문단 편집)}

== ZFC의 공리적 존재 함의에 기반한 구성적 정의 ==
사실 수학과 저학년 학생들은 이게 더 익숙하다. 쉽게 말해서 위의 공리계는 '이런 게 있다(exists)', '이렇다면, 저렇다', '모든 무언가에 대해 성립하는 모든 조건에 대해'와 같은 고차논리(higher-order logic)적 표현이랑 proof theory, model theory식 소리가 가득한데 집합으로 환원해서 생각하면~~부분집합인 동시에 원소라는 걸 뇌로 상상하는 게 어렵지~~ 직관적으로(?) 머리로 떠올려 생각할 수도 있다(!). 아무래도 논리적 dedction보다 집합스러운 연산(operation)이 더 직관적으로 와닿기 때문. 뭣보다 집합이라는 도구를 이미 다 갖추고 있기 때문에 위의 공리적 방법이랑 비교해 너무 날먹이다. 수학과 신입생들은 ZFC가 외워야 할 게 많다고 어려워하지만 실은 ZFC는 일종의 마트 가면 볼 수 있는 공구세트, 주방도구세트 비슷한 느낌이다. 이미 모든 필요한 공리와 존재(existence)의 보장이 다 되어있으니 앉아서 먹기만 하면 된다.

다만 페아노 공리계와 ZFC 공리계가 분리되어 있는 이유는, 당연히 공리의 의존성을 줄이고 순도를 높이기 위해서이다. ZFC에 대부분의 도구가 정의되어 있으니 '~가 존재한다는 걸 공리로 가정(assume)'할 필요 없이 '~가 존재한다는 걸 증명(prove)'하기만 하면 되는 건 편하지만, ZFC는 ZFC고 이와 호환되지 않는 다른 well-defined된 다른 공리계들도 존재한다. 그런 공리계에서조차 '자연수'라는 개념을 공리적으로든, 구성적으로든 하여간 어떠한 방법으로든 '구현'하기 위해서 필요한 게 페아노 공리계, 즉 일종의 '<자연수 만들기 레시피> [재료는 알아서 구하셈 ㅇㅇ]'와 같다.

일례로 람다 대수에서는 0을 False로 가정하고, successor를 [math(\lambda n.\lambda f.\lambda x.f((n f) x))]로 정의한 다음 처치 부호화를 사용해 자연수를 정의하지만, 0과 successor가 존재하기 때문에 람다 함수를 받아 람다 함수를 반환하는 람다 함수의 합성의 합성이라는(...)~~뭐시발~~ 뇌내에 떠올리기조차 힘든 괴랄한 구조(?)임에도 불구하고 람다 대수에서 자연수 집합에 작용하는 모든 명제가 성립한다는 것을 증명할 수 있다.

실제로 페아노 공리계가 집합의 개념을 사용한다고 오해하는 경우가 있는데, '''아니다.''' 페아노 공리계는 위에서 보듯이 순수 TOL만 사용해서 기술할 수 있다. 흔한 오해와 다르게 위 정의상 [math(\N)]은 '''반드시''' [[집합]]은 아니고, [math(S)]는 '''반드시''' [[함수]]는 아니다. 물론 ZFC처럼 [math(\N)]이 집합이 '''될 수도''' 있고 [math(S)]가 함수가 '''될 수도''' 있으나, 이를 명시하는 공리는 전혀 없다는 것이다. 이해가 어렵다면 위의 람다 대수 및 처치 부호화 예시를 다시 살펴보자.

요약

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